%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.19. French}

\textbf{Théorème 1.19}
Soit $V$ un fibré vectoriel méromorphe en $0$ sur $D^*$, muni d'une connexion $\nabla$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\nabla$ est régulière.
\item[(ii)] Les sections (multiformes) horizontales de $V$ ont une croissance modérée en $0$.
\end{enumerate}

$(i) \Rightarrow (ii)$. Choisissons, près de $0$, un isomorphisme $V \sim \mathcal{O}^n$ via lequel

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l'équation différentielle des sections horizontales s'écrit
\[
\partial_z v = \Gamma v,
\]
$\Gamma$ ne présentant en $0$ qu'un pôle simple au plus. On a alors pour $|z| \leq \lambda < 1$
\[
|\partial_z v| \leq \frac{k}{|z|} |v|
\]
et, sur $D_1$ (1.18), cette inégalité s'intègre pour $|z| \leq \lambda$ en
\[
|v| \leq \frac{1}{|z|^k} \sup_{|z|=\lambda} |v|.
\]

$(ii) \Rightarrow (i)$. Soit $T$ la transformation de monodromie de $V$ et soit $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$ une matrice telle que $\exp(2\pi i\, U)$ soit conjugué à $T$. Soit $V_0$ le fibré vectoriel $\mathcal{O}^n$, muni de la connexion régulière de matrice
\[
\Gamma = \frac{U}{z}.
\]

Les fibrés $V$ et $V_0$ ont même monodromie. D'après les dictionnaires II et I2, ils sont donc isomorphes en tant que fibrés à connexion sur $D^*$. Soit
\[
\varphi : V_0|_{D^*} \longrightarrow V|_{D^*}
\]
un isomorphisme. Il suffit de prouver que $\varphi$ est compatible aux structures de fibrés méromorphes en zéro de $V_0$ et $V$ ; ceci a lieu si et seulement si $\varphi$ a une croissance modérée en $0$. Soit $e$ une base horizontale (multiforme) de $V_0|_{D^*}$, $f$ une base horizontale (multiforme) de $V|_{D^*}$.

\[
\begin{CD}
V_0 @>>> V \\
@A e AA @AA f A \\
\mathcal{O}^n @>>> \mathcal{O}^n
\end{CD}
\tag{i}
\]

Le morphisme $f$ a par hypothèse une croissance modérée. Le morphisme $e^{-1}$ a pour coordonnées des sections horizontales du fibré régulier $V_0'$, et a donc une croissance modérée. Le morphisme $\psi$ rendant commutatif le diagramme (i) est horizontal, pour la connexion usuelle de $\mathcal{O}^n$, donc est constant. Le composé $\varphi = f \circ e^{-1}$ a donc une croissance modérée.

%----------------- TRANSLATION -----------------
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\subsection*{1.19. English}

\textbf{Theorem 1.19}
Let $V$ be a vector bundle on $D^*$, meromorphic at $0$, equipped with a connection $\nabla$. The following conditions are equivalent:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\nabla$ is regular.
\item[(ii)] The (multivalued) horizontal sections of $V$ have moderate growth at $0$.
\end{enumerate}

$(i) \Rightarrow (ii)$. Choose, near $0$, an isomorphism $V \simeq \mathcal{O}^n$ under which

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the differential equation for horizontal sections becomes
\[
\partial_z v = \Gamma v,
\]
where $\Gamma$ has at most a simple pole at $0$. Then for $ z \leq \lambda < 1$ we have
\[
\partial_z v \leq \frac{k}{ z } v ,
\]
and on $D_1$ (see 1.18), this inequality integrates for $ z \leq \lambda$ to
\[
v \leq \frac{1}{ z ^k} \sup_{ z =\lambda} v .
\]

$(ii) \Rightarrow (i)$. Let $T$ be the monodromy transformation of $V$, and let $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$ be a matrix such that $\exp(2\pi i\, U)$ is conjugate to $T$. Let $V_0$ be the vector bundle $\mathcal{O}^n$ equipped with the regular connection whose matrix is
\[
\Gamma = \frac{U}{z}.
\]

The bundles $V$ and $V_0$ have the same monodromy. By the correspondences of Dictionary II and I2, they are therefore isomorphic as vector bundles with connection on $D^*$. Let
\[
\varphi : V_0 \mid_{D^*} \longrightarrow V \mid_{D^*}
\]
be such an isomorphism. It suffices to show that $\varphi$ respects the meromorphic structures at $0$ of $V_0$ and $V$; this holds if and only if $\varphi$ has moderate growth at $0$. Let $e$ be a (multivalued) horizontal basis of $V_0 \mid_{D^*}$, and $f$ a (multivalued) horizontal basis of $V\mid_{D^*}$.

\[
\begin{CD}
V_0 @>>> V \\
@A e AA @AA f A \\
\mathcal{O}^n @>>> \mathcal{O}^n
\end{CD}
\tag{i}
\]

By hypothesis, the morphism $f$ has moderate growth. The morphism $e^{-1}$ has as coordinates horizontal sections of the dual regular bundle $V_0'$, hence also has moderate growth. The morphism $\psi$ making diagram (i) commute is horizontal with respect to the standard connection on $\mathcal{O}^n$, and therefore constant. Consequently, the composition $\varphi = f \circ e^{-1}$ has moderate growth.
